Nacque a Busto Arsizio, in provincia di Varese, il 1° gennaio 1886 da Giuseppe e da Teresa Ferrario.

Terminate le elementari, entrò in seminario, dove fu allievo di Carlo Dalmazio Minoretti, futuro cardinale e arcivescovo di Genova. La prima parte del suo percorso formativo si concluse il 13 giugno 1908, quando nel duomo di Milano fu ordinato sacerdote dal cardinale Andrea Carlo Ferrari.

Nello stesso anno incontrò Agostino Gemelli, con il quale da subito iniziò un’amicizia duratura, fondata sulla condivisione di un ideale del cattolicesimo in cui la relazione tra fede e politica si richiamava esplicitamente al modello medievale della ‘società organica’. Già dall’anno successivo, sulla base di quell’intesa ideale, tra i due si avviò anche una proficua e lunga collaborazione. Olgiati cominciò a scrivere per la Rivista di filosofia neoscolastica e a dedicarsi alle attività della Società italiana per gli studi psicologici e religiosi, ambedue fondate poco tempo prima da Gemelli (rispettivamente nel 1909 e nel 1912).

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Nel 1913 fu nominato archivista della Curia arcivescovile di Milano, mentre era al contempo direttore spirituale delle marcelline.

Nel 1914 fondò insieme a Gemelli e a Ludovico Necchi la rivista Vita e pensiero. L’editoriale d’apertura, intitolato Medioevalismo (1914, pp. 1-24), rappresentava nel titolo e nei contenuti il manifesto di un vasto progetto di riconquista cattolica della cultura italiana, con un richiamo a quella visione che si rispecchiava nel modello medievale e si contrapponeva al liberalismo e alla modernità. A questo progetto apparteneva anche il proposito, invece tutto moderno, della fondazione di un’università cattolica che, attraverso la formazione delle nuove classi dirigenti, intendeva dare ai cattolici un posto di primo piano nella vita culturale, sociale e politica italiana.

Già durante la guerra Gemelli, Necchi, Olgiati, insieme ad Armida Barelli ed Ernesto Lombardo, lavorarono per realizzare quella università; il progetto si concretizzò l’8 dicembre 1921 con la benedizione dell’allora cardinale Achille Ratti, ormai prossimo al soglio.

Le analisi storiografiche di Olgiati sul movimento cattolico, ma anche il suo impegno diretto profuso nel contesto sociale si dovettero al grande cambiamento che aveva prodotto e stava continuando a produrre l’ingresso nella politica del mondo cattolico italiano. Si trattò di un’opportunità che sia Olgiati sia Gemelli colsero in maniera molto diversa rispetto a Luigi Sturzo: nel 1919 pubblicarono un opuscolo a quattro mani, che criticava l’impostazione sturziana del Partito popolare, intitolato Il programma del Partito popolare italiano: come non è e come dovrebbe essere, Milano 1919. Nel 1920 Olgiati e Gemelli diedero vita anche a La rivista del clero italiano.

Mentre proseguivano le sue attività in ambito culturale, Olgiati ricevette un primo riconoscimento ufficiale da parte della S. Sede: nel 1922 fu insignito da Pio XI del titolo di cameriere segreto di Sua Santità. Dal 1923 fu canonico onorario del Capitolo metropolitano milanese.

Dal 1922 fu membro del comitato permanente e del consiglio di amministrazione dell’Istituto Giuseppe Toniolo di studi superiori, ente finanziatore dell’Università Cattolica (ne sarebbe divenuto presidente dopo la morte di Gemelli, nel 1959), e dal 1924 ebbe un posto nel consiglio d’amministrazione dell’università.

Alla Cattolica assunse da subito l’incarico dell’insegnamento di metafisica. Nel 1924 – quando per ottenere il riconoscimento giuridico l’ateneo dovette uniformare le cattedre a quelle delle altre università – conseguì la libera docenza in storia della filosofia e ampliò il numero dei suoi corsi, assumendo gli insegnamenti di storia della filosofia moderna, di filosofia, religione e pedagogia e dal 1926-27 anche quello di filosofia del diritto. Nel 1930, dopo aver superato un concorso universitario, cui parteciparono anche i filosofi Emilio Chiocchetti e Antonio Banfi, ottenne la cattedra di storia della filosofia moderna, diventando nel 1933 professore ordinario. La commissione esaminatrice era composta da Giovanni Gentile, Armando Carlini, Augusto Guzzo.

Nel 1933, venticinquesimo anno dal suo sacerdozio, fu insignito da Pio XI anche del titolo di protonotario apostolico. Nel 1940 ricevette un’altra onorificenza, questa volta di impronta laica, quella di cavaliere della Corona d’Italia.

Durante la seconda guerra mondiale, nel 1943-45, fu preside della facoltà di lettere e filosofia. Dopo la liberazione ebbe temporaneamente anche il ruolo di pro-rettore.

Negli anni Cinquanta ricevette numerosi riconoscimenti per la sua attività didattica, tra cui, nel 1955, la medaglia d’oro dei benemeriti della scuola, della cultura e dell’arte, su proposta dell’allora ministro della Pubblica Istruzione, Paolo Rossi, e nel 1958 la medaglia d’oro dei benemeriti della provincia di Milano. Nel 1960 il Comune di Busto Arsizio lo premiò con la targa d’oro dei cittadini benemeriti e fu nominato membro dei consultori della pontificia commissione dei seminari e delle università degli studi per la preparazione del Concilio Vaticano II.

Nel 1960 si ammalò e cominciò a trascorrere gran parte del suo tempo nel ritiro estivo di Santa Cristina di Borgomanero in provincia di Novara. Nonostante la sua infermità, dopo la morte di Gemelli fu costretto a seguire in prima persona i lavori del Toniolo e della Cattolica. Nel 1961 lasciò l’insegnamento all’università

In quello stesso anno andò in porto il progetto ideato e tanto desiderato da Gemelli dell’istituzione della facoltà di medicina, di cui Olgiati, ricoverato e operato al Fatebenefratelli di Milano, disse con ironia di essere il primo malato.

Morì il 21 maggio 1962 nella sua casa in via Duomo 16 a Milano.